公式
行列式
$|A| = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…+a_{in}A_{in}(按行展开)$
$\quad \ = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+…+a_{nj}A_{nj}(按行展开)$
特别的
（1）上、下三角行列式：主对角元素的乘积
$$ \left|\begin{matrix} & a_{12} & & \cdots & a_{1n} \\ & & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & &a_{nn}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{11} & & & \\a_{21} & a_{22} & & \\\vdots & & \ddots & \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & &a_{nn}a_{11}\end{matrix}\right| $$
（2）副上、下三角行列式：副对角元素的乘积 $\ *\ (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$
（3）拉普拉斯展开式：
$\left|\begin{array}{cccc}A & 0\\ C & B\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}A & C\\ 0 & B\\ \end{array}\right|=|A||B|$
$\left|\begin{array}{cccc}C & A\\ B & 0\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0 & A\\ B & C\\ \end{array}\right|=(-1)^{m\ *\ n}|A||B|$
（4）范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积
$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 &x_3\\ x_1^2& x_2^2 & x_3^2 \end{array}\right|=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$
矩阵
（1）转置
$(A^T)^T = A, \qquad\qquad\ (A+B)^T=A^T+B^T$
$(kA)^T=kA^T, \qquad\quad (AB)^T=B^TA^T$
（2）伴随
$A^*=|A|A^{-1}$
$AA^{*}=A^{*}A=|A|E, \qquad (A^{*})^T=(A^T)^{*}$
$(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}, \qquad\qquad (A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\cfrac{1}{|A|}A$
$R(A^{*})=\left \{ \begin{array}{ll}n, & R(A)=n \\ 1, & R(A)=n-1 \\ 0, & R(A)<n-1 \end{array} \right.$
（3）可逆
$(A^{-1})^{-1}=A$
$(kA^{-1})=\cfrac{1}{k}A^{-1} \qquad\qquad, (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
$(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \qquad\quad\ \ , (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
特别的，初等矩阵：
互换两行或两列，矩阵不变
$\left(\begin{array}{cccc} & 1 & \\ 1 & & \\ & & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} & 1 & \\ 1 & & \\ & & 1 \end{array}\right)$
倍乘某行或某列，取倒数
$\left(\begin{array}{cccc} 1 & & \\ & k & \\ & & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & & \\ & \cfrac{1}{k} & \\ & & 1 \end{array}\right)$
倍加某行或某列，加负号
$\left(\begin{array}{cccc} 1 & & k \\ & 1 & \\ & & 1 \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & & -k \\ & 1 & \\ & & 1 \end{array}\right)$
（5）方阵的行列式
$|A^T|=|A|$
$|kA| = k^n|A| \qquad |AB|=|A||B|$
$|A^*|=|A|^{n-1} \qquad |A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|}$
特征值
（1） $|A|=\prod\lambda_i \qquad \prod\lambda_i=\sum a_{ii}$
（2）$A\alpha=\lambda\alpha，则(A+kE)\alpha=(\lambda+k)\alpha$
$\qquad\ \ A^n\alpha=\lambda^n\alpha \qquad A^{-1}\alpha=\cfrac{1}{\lambda}\alpha \qquad A^*\alpha=\cfrac{|A|}{\lambda}\alpha$
$\qquad\ \ (P^{-1}AP)(P^{-1}\alpha)=\lambda P^{-1}\alpha$
（3）如$A \sim B$，则：
$\qquad\ \ |A|=|B|,\quad R(A)=R(B),\quad \lambda_A=\lambda_B, \quad \sum a_{ii}=\sum b_{ii}$
（4）如$A \sim B$，即$P^{-1}AP=B$，则：
$\qquad\ \ P^{-1}(A+kE)P=B+kE, \qquad P^{-1}A^nP=B^n$
施密特正交化
$\beta_1=\alpha_1$
$\beta_2=\alpha_2-\cfrac{[\beta_1, \alpha_2]}{[\beta_1, \beta_1]}\beta_1$
$\beta_3=\alpha_3-\cfrac{[\beta_2, \alpha_3]}{[\beta_2, \beta_2]}\beta_2-\cfrac{[\beta_1, \alpha_3]}{[\beta_1, \beta_1]}\beta_1$
定理
$A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵
$\qquad \Leftrightarrow \quad |A|\neq0$
$\qquad \Leftrightarrow \quad r(A)=n$
$\qquad \Leftrightarrow \quad A的行/列向量组线性无关$
$\qquad \Leftrightarrow \quad 齐次方程组Ax=0只有零解$
$\qquad \Leftrightarrow \quad \forall\ b\in R^n,\ Ax=b总有唯一解$
$\qquad \Leftrightarrow \quad A与E等价$
$\qquad \Leftrightarrow \quad A可表示成若干个初等矩阵的乘积$
$\qquad \Leftrightarrow \quad A的特征值全不为0$
设$A_{\ m \times n\ }，则其次方程组\ Ax=0\ 有非0解$
$\qquad \Leftrightarrow \quad r(A)<n$
$\qquad \Leftrightarrow \quad A的列向量组线性无关$
特别地，
如果 $m<n$，则$Ax=0$必有非0解
如果 $A_n$，则$Ax=0$有非0解 $\Leftrightarrow |A|=0$
设$A_{\ m \times n\ }，r(A)=r<n，则\ Ax=0\ 解集合的秩为n-r$
设$A_{\ m \times n\ }，r(A)=r(\bar A)=r<n，则方程组\ Ax=b\ 的通解为$
$$\alpha + k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_{n-r}\eta_{n-r}$$
其中$\alpha$是方程组$Ax=b$的一个解，$\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{n-r}$是$Ax=0$的基础解系
特征值不同，特征向量线性无关
特别地，实对称矩阵，不同特征值所对应的特征向量均正交
$k$重特征值至多有$k$个线性无关的特征向量
$A \sim \Lambda\ \Leftrightarrow\ A有n个线性无关的特征向量$
$\qquad\quad \ \Leftrightarrow\ 如\ \lambda\ 是k重特征值，则n-r(\lambda E-A)=k$
特别地，
$A$是是对称矩阵，则$A \sim \Lambda$
$A$有$n$个不同的特征值，则$A \sim \Lambda$
如 $P^{-1}AP=\Lambda$ 则 $\Lambda 为 A$的特征值，$P为A$的特征向量
$n$维向量 $\alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_n$ 线性相关
$\Leftrightarrow \qquad 存在一组不全为0的数\ k_1,\ k_2,\ \dots\ k_s$
$\qquad\quad;$使得 $\sum\limits_{i=1}^sk_i\alpha_i=0$ 成立
$\Leftrightarrow \qquad ( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)\left(\begin{array}{cccc} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_s \end{array}\right)=0\ 有非零解$；$即$Ax=0$有非零解
$\Leftrightarrow \qquad R( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s) < s，系数矩阵的秩小于未知数的个数$
特别地
(1) $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_n$ 线性相关 $\ \Leftrightarrow\ |\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_n|=0$
(2) $\ s>n$时， $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$必线性相关
设向量组 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 线性无关， $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s,\ \beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_n$ 线性表出且表示方法唯一。
若 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 线性相关，则 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s,\ \alpha_{s+1}$ 必线性相关
若 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 线性无关，则 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_{s-1}$ 必线性无关
若 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 线性无关，则$\left[\begin{array}{cccc}\alpha_1\\ \beta_1\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cccc}\alpha_2\\ \beta_2\end{array}\right]，\dots , \left[\begin{array}{cccc}\alpha_s\\ \beta_s\end{array}\right]$ 必线性无关
若 $\left[\begin{array}{cccc}\alpha_1\\ \beta_1\end{array}\right]，\left[\begin{array}{cccc}\alpha_2\\ \beta_2\end{array}\right]，\dots , \left[\begin{array}{cccc}\alpha_s\\ \beta_s\end{array}\right]$ 线性相关，则 $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 均线性相关
如向量组A: $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 可由 向量组B: $\ \beta_1,\ \beta_2，\ \dots\ \beta_t$线性表出，则$R(A)<R(B)$
如向量组A: $\ \alpha_1,\ \alpha_2，\ \dots\ \alpha_s$ 可由 向量组B: $\ \beta_1,\ \beta_2，\ \dots\ \beta_t$线性表出，且A线性无关，则$s<t$
二次型 $x^TAx$ 经坐标变换 $x=cy$ 得新二次型 $y^TBy$其中 $B=C^TAC$，即经坐标变换二次型的矩阵A和B合同
二次型 $x^TAx$，必存在正交变换 $x=Qy$ ,得标准型 $x^TAx=y^T\Lambda y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2$
其中 $\lambda_1\ \lambda_2\ \dots\ \lambda_n$ 是A的特征值，$ Q=(\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n) $ 是A的特征向量
- $n$ 元二次型$x^TAx$为正定：
$\Leftrightarrow$ A的正惯性指数为n
$\Leftrightarrow$ A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得$C^TAC=E$
$\Leftrightarrow$ A的所有特征值均为正数
$\Leftrightarrow$ A的各阶顺序主子式均大于0
$\Rightarrow a_{ii}>0，|A|>0$（必要条件）
秩的相关定理
$R(A)=n A中有n阶子式不为0，且n+1阶子式全为0$
$R(A)<n A中有n阶子式全为0$
$R(A)\geq n A中有n阶子式不为0$
经过初等变换后矩阵的秩不变
$R(A)\ =\ A的列向量组的秩\ =\ A的行向量组的秩$
公式
$0\ \leq\ R(A_{m\ *\ n})\ \leq\ min(m, n)$
$R(A^T)\ =\ R(A)$
$R(kA) = R(A), k\neq 0$
$R(A+B)\ \leq\ R(A)\ + R(B)$
$R(AB)\ \leq\ min(R(A), R(B))$
若对于$P、Q\quad \exists \ P^{-1}、Q^{-1}，$
$则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$
$max(RA, RB)\ \leq\ R(A, B)\ \leq\ R(A)+R(B)$
$R(A^TA)=R(A)$
$\qquad\quad R\left[\begin{array}{cccc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right]=R(A)+R(B)$
设$A_{m\ *\ n}，\ B_{n\ *\ s}，且AB=0，则RA+RB\leq n$
特别地，
如果$RA=1$，则
$A^2=(\ \sum a_{ii}\ ) * A$
$|\lambda E-A|=\lambda^n-\sum a_{ii}\lambda^{n-1}$
即A的特征值：$\left\{\begin{array}{ll}\lambda_1=\sum a_{ii} \\ \lambda_2 = 0 \\ \vdots \qquad \vdots \\ \lambda_n = 0\end{array}\right.$