一、古典概型

摸球问题
- 一把抓（无序）：组合
- 逐个取（有序）：
  - 不放回： $n\Omega$ 要逐渐减小
  - 放回【独立】：$n\Omega$不变
抽签摸奖与次序无关：若a个中奖球，b个不中奖球，前n-1次不明确，那么第n次中奖的的概率即$\frac{a}{a+b}$
分房问题
- 指定（不用选）
- 恰（需要选）
- 人数要求
取样问题
- 含与不含
- 或与且
- 最大与最小

二、几何概型

长度、面积、体积的比值

三、事件的运算

包含、相等、和、积、差、互不相容、对立

$P(A-B)=P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)$

互不相容：$AB=\phi$

对立：$AB=\phi$ 且 $A+B=\Omega$ ( P(AB)=P($\bar{A}\bar{B}$) )

互不相容 $\overset{\nrightarrow}{\leftarrow}$ 对立

事件关系 $\overset{\nleftarrow}{\rightarrow}$ 概率关系

概率等式关系

$P(AB)\overset{独立}{=}P(A)P(B)$
P($A_先B_后$) $\overset{乘}{=}$ P(A) P(B|A)
P(AB) $\overset{加}{=}$ P(A) + P(B) -P(A+B)
P(AB) $\overset{减}{=}$ P(A) - P(A$\bar{B}$) = P(B) - P($\bar{A}$B)
P(AB) $\overset{对立}{=}$ 1 - P($\overline{AB}$) = 1 - P($\bar{A} \bigcup \bar{B}$)

四、概率不等式关系

0 $\leq$ P(A) $\leq$ 1
A$\subset$B $\Longrightarrow$ P(A) $\leq$ P(B)
P(B|A) > P(AB)

AB $\subseteq$ A $\Longrightarrow$ P(AB) $\leq$ P(A)
AB $\subseteq$ B $\Longrightarrow$ P(AB) $\leq$ P(B)
$\Longrightarrow$ P(AB) $\leq$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$
$\Longrightarrow$ P(AB) $\leq$ min[ P(A)， P(B) ]
P(AB) $\overset{加}{=}$ P(A) + P(B) - P(A+B)
P(A+B) $\in$ [ 0, 1 ]
$\Longrightarrow$ P(AB) $\geq$ P(A) + P(B) -1

五、条件概率与乘法公式

条件概率也是概率，其满足概率的一切性质

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)

条件概率的计算：

抽象：扣定义
具体：缩小样本空间
逆概：Bayes公式

P(A|B)与P(A)的大小关系(P(A)>0,P(B)>0)

当A$\subset$B时 P(A|B) = $\frac{P(AB)}{P(B)}$ = $\frac{P(A)}{P(B)}$ $\geq$ P(A)
当B$\subset$A时 P(A|B) = $\frac{P(B)}{P(B)}$ = 1 $\geq$ P(A)
当AB=$\phi$时 P(A|B) = 0 $\leq$ P(A)
当P(AB)=P(A)P(B)时 P(A|B) = $\frac{P(AB)}{P(B)}$ = $\frac{P(A)P(B)}{P(B)}$ = P(A)

六、独立性与伯努利

独立：P(AB)=P(A)P(B)

独立等价：

P(B|A) = P(B|$\bar{A}$)
P(B|A) = $\frac{P(AB)}{P(A)}$ = P(B)
P(B|A) = P($\bar{B}$|$\bar{A}$) = 1

若事件A与B相互独立，则“爱逆不逆”（即事件A发生条件下，对事件B的概率毫无影响）

判定两事件独立：

靠先前经验判断
独立性的意义$\longrightarrow$有放回的抽样
扣定义

多事件间的独立性：

A,B,C$\underline{两两}$独立 $\begin{cases} P(AB) = P(A)P(B)\\ P(AC) = P(A)P(C) \\ P(BC) = P(B)P(C) \end{cases}$

A,B,C$\underline{相互}$独立 $\begin{cases} P(AB) = P(A)P(B) \\ P(AC) = P(A)P(C) \\ P(BC) = P(B)P(C) \\ \underline{\text{P(ABC) = P(A)P(B)P(C)}}\end{cases}$

n重伯努利事件（n重独立重复试验）（结果只有A和$\bar{A}$，P(A)=p，P($\bar{A}$)=1-p，也即二项分布）

n次试验成功k次：$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

直到第n次成功了k次：$C_{n-1}^{k-1}p^k(1-p)^{n-k}$

（即 n-1次试验成功了k-1次： $C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}*p$ ）

七、全概率公式与贝叶斯公式

完备事件组构造方法：$\begin{cases} \text{两分法} \\ \text{按离散随机变量取值} \\ \text{广义化} \end{cases}$

全概率公式（由因得果）：$P(B)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$

贝叶斯公式（由果溯因）：$P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$

一、古典概型#

二、几何概型#

三、事件的运算#

四、概率不等式关系#

五、条件概率与乘法公式#

六、独立性与伯努利#

七、全概率公式与贝叶斯公式#